深度理解凱利公式（交易員必讀)

在交易員的世界中，除了晦澀難懂的概念和定義之外，其中最關鍵的莫過於對凱利公式（Kelly formula/kelly criterion) 的運用。對於任何現在市場上真正賺取財富的交易者來說，我會建議他們好好研究凱利公式的運用。

當然在21點的遊戲或是賭場中，你的最大虧損就是你的籌碼。然而如果你是通過保證金進行交易，那麼完全依賴凱利公式本身就是充滿市場風險的。

在賭博遊戲中，你的單次收益是與你下注的量是成正比的。也就是最速曲線中的距離最短。但是如果你的下注量過大，在若干次下注後，你的破產機率是十分高的。你的下注量過小，則資金的累積速度也是較慢的。

交易以及收益增長的關鍵在於平衡這兩者。
資金曲線增長的本質是優良的風險控制以及資金控管。
貝爾實驗室的約翰凱利博士最早研究了這個問題。

他證明了申農在通訊噪音干擾理論中使用的數學模型同樣適用於投資者對於風險和收益的管理。如果信息傳輸中將噪音干擾引起的錯誤降低到零，那麼，同理，投資者在追求最大復利收益的同時也可以把坡長的風險降低到零。

申農提出的這種兩全其美的理論同樣可以應用於賭博當中。可惜天妒英才，在凱利散步時，他向他同事喊道”等一會兒”。然後就倒地，最終死於腦溢血。當時他才41歲。

凱利公式的論文一經發表則引起了轟動。發現21點賭局漏洞的索普在其橫掃美國賭場中應用了凱利公式來管理其資金，避免破產的風險。沃倫巴菲特的投資組合中也完美地使用了凱利公式。

凱利公式是一條可應用在投資資金和賭注的公式,這條公式是克勞德·艾爾伍德·香農在貝爾實驗室的同事物理學家約翰·拉里·凱利在1956年提出的。

凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉里·凱利根據他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用於二十一點和股票市場中。

後面這個公式之所以廣為人知的原因在於，愛德華索普（Edward Thorp) ，MIT數學教授在拉斯維加斯賭場中的大獲全勝，並出了一本算牌的神書，被稱為BEAT THE DEALER，這本書裡面對於凱利公式也有非常精妙的註解。非常建議閱讀。索普利用工作之餘，通過數個月的艱苦演算，寫了一篇題為《”二十一點”優選策略》的數學論文。他利用自己的知識，一夜之間”奇襲”了內華達雷諾市所有的賭場，並成功的從二十一點賭桌上贏得了上幾十萬美元。
如下圖為凱利公式：

公式中f為你該用資產多少比例下注：
1. b為盈虧比
2. p為勝率
3. q為虧損概率，即q=1-p

經典的公式往往簡單到極富美感，凱利公式就是其一。區區幾個變量就能有這效果，實在是讓人陶醉。我們只需使用連小學生都會的加減乘除，即能獲得我們的倉位極限。

我們來設計一個賭局：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時候淨收益率為1，即rw=1，輸的時候淨損失率為0.5，即rl=0.5。也就是說當你每賭一元錢，贏的時候你能再贏1元，輸的時候你只要付出去0.5元。

這個賭局玩家的期望收益率為0.5*1–0.5*0.5=0.25，對玩家非常有利，問題是每次下注多少賺得最快呢？

我們現在用凱利公式計算F=0.25/(1*0.5)=0.5,也就是說每次下註一半，賺得最快，現在用EXCEL驗證一下，以下計算引用了RAND和IF函數，下注100次

由以上計算可以看出50%下注，果然賺得最快，100%下注竟然不賺錢。面對如此誘人的正收益的投資機會，如果採取錯誤的倉位，也會顆粒無收。不同的倉位導致的結果相去甚遠。

假設石油價格在50美元左右，假設漲到100和跌到25概率各50%，這個投資機會就和上面的賭局一模一樣。

凱利公式尤其適合在低風險或是超跌的標的物中進行計算帶入。

而低風險投資的機會大部分能知道勝率和賠率，因此很容易計算出倉位

例1：3分級在0.8元時，假如漲跌概率都是50%，最低跌到0.75，最高漲到0.95。
上漲時收益率=（0.95–0.8）/0.8=18.75%
下跌時收益率=（0.75–0.8）/0.8=-6.25%,注意在公式中取絕對值。
F=0.5/0.0625–0.5/0.1875=533%

原來0.8的分級A應該加槓桿買買買，不過槓桿有成本的，大家自己計算
例2：假如某垃圾債年化收益率比國債高20%，但是有10%違約風險
F=（0.9*0.2–0.1）/0.2=40%

對於低勝率的趨勢交易者，在一定條件下提高勝率可以大幅提高所能下注的最大額度，加快資金的積累。

注意，這條結論只是在理論條件下。
且不論趨勢交易者提高勝率的難度，更有時不時飛過一尾黑天鵝飄過的影響。

1969年，也就是在索普的”不敗秘籍”問世7年後，索普把目光放在了華爾街新生的股票權證上，史上第一家量化對沖基金”Princeton Newport Partners”在索普的籌備下誕生了。 PNP是最早用數學建立套利模型的對沖基金，在投資界可謂出盡了風頭，從1968年到1988年，這個對沖基金淨值上漲了14.5倍，同期標普500只上漲了5倍。

這個誕生於賭場的凱利公式，在投資界也被被巴菲特，查理芒格和比爾格羅斯這樣的大佬引用了無數回。

它在投資中的應用當然也沒有那麼簡單，否則索普為了賺錢而保密的公式就完全沒有作用了。這個公式最開始是凱利為通信學研究的，並不貼近實際的應用場景。比如公式中要求的幾個參數，在實際的交易背景下不是常數，而實際交易中有最低交易門檻，最少也要買100股，如果你的賬戶裡虧的只剩500塊，那麼就意味著大部分股票你都買不了。

凱利公式還有一個變形：
f*=(p*rW-q*rL)/(rLrW)
其中f*,p,q同上，
rW：是獲勝後的淨贏率
rL：是淨損失率。

因為最廣為人知的凱利公式只適用於全部本金參與的情形，比如，我有1萬元買股票，30%幅度止盈，10%的幅度止損，最多盈利3000，最多虧損1000，這裡rW=0.3，rL=0.1，此時可以計算最優倉位，但是由第一個公式是算不到的，主要原因是這裡我並沒有投入所有本金。

但凱利公式在風險管理和倉位控制上的確非常有用，雖然現在的投資大師不認為投資是賭博，但二者之間存在著許多相似之處：

索普關於賭博的觀點是：當你過度下注時，你將會失去一切。在21點的賭博中，如果你從不一次下注超過你總籌碼的2%，你永遠也不可能輸光你所有的錢。投資也一樣。如果你從不將超過2%的頭寸暴露在任何一種風險中，那麼你也不可能虧光本金。

假設你有100萬資產，目前有投資標的：股票A\B\C\D\E,他們最近一年的表現情況可以用下表來表示：

這裡我們以月為單位，根據過去一年中12個月收益正負情況算出勝率。對於賠率的計算，我們用過去12個月中正收益月的平均收益率所謂每次”賭”贏賺取的”籌碼量”，而用過去12個月中負收益月的平均收益率代表每次”賭”輸所虧損的”籌碼量”。

這樣算出5個股票各自的”賠率”。

這樣根據凱利公式算出每隻個股各自的最優資金配置比例。那麼問題來了，顯然5只個股的佔比加起來遠遠超過100%，那要怎麼來理解呢?我們可以把初始資金100萬平均分成5份，每份20萬，相當於我用這5份籌碼分別玩5種不同的遊戲，各自玩12把後匯總，讓總利潤最大化，那麼每次應該投入的籌碼：

5只個股加起來為62萬元，那麼剩下的38萬元就進行固收類的投資。